Structure Fractale Pulmonaire
"Comment la structure fractale des poumons optimise-t-elle les échanges gazeux ?"
Construction d'une fractale
Protocole
Afin de fabriquer une figure fractale auto-similaire, on procède par un protocole itératif. On part d'une première figure (générateur) à laquelle on fera subir un protocole (itération) pour obtenir la fractale à l'étape 1. La répétition de ce processus permettra de construire la figure fractale aussi finement que l'on voudra.
Le plus souvent, le protocole fait subir à l'objet une ou plusieurs des transformations suivantes
- une reproduction à l'identique
- une rotation dont on précise l'angle
- une reproduction à une echelle indiquée
Il est possible, pour se représenter ce que signifie la protocole itératif d'une fractale, de modéliser un arbre avec le protocole de construction suivant:
D'abord, la structure initiale est un segment avec une longueur et une épaisseur données.
Puis, à l'étape suivante, chaque branche se subdivise en deux nouvelles branches positionnées à 45° de la précédente. Et ainsi de suite pour chaque branche aux extrémités de l'arbre.
Voici l'arbre dans toute sa splendeur:
Cette figure fractale sert notamment à schématiser la structure d'arbres dans la nature (végétaux), mais aussi l'arbre trachéobronchique des poumons.
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L'exemple de la côte bretonne
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Afin de comprendre cette notion de fractale, nous pouvons nous pencher sur la question que se posait Mandelbrot: “Mais, quelle est donc la longueur de la côte de Bretagne ?”
Protocole
Pour modéliser la côte bretonne, nous pouvons schématiser le littoral par un segment, et nous nous aiderons du principe de construction du flocon de Koch pour représenter les irrégularités de la côte. Dans ce cas, notre générateur est un segment de longueur 1. A chaque itération, nous allons partager ce générateur en 3 segments égaux et remplacer le segment du milieu par une ligne brisée de 2 segments de même longueur que le segment médian en faisant un angle de 60° (ce qui donne un triangle équilatéral de coté ⅓).
L’aspect irrégulier et aléatoire de la fractale est représenté puisqu’il existe 2 configurations possibles dès la première étape. Il est intéressant de noter que si l'on développe la fractale au rang 2, nous aurions 32 cas de figure possibles.En voici, quelques exemples:
Ainsi, lorsque le nombre d’itération tend vers l'infini, il y a une infinité de probabilités. Les fractales ont été pensées dans le but d’étudier ces phénomènes irréguliers en tenant compte de toute leur complexité.
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