Structure Fractale Pulmonaire
"Comment la structure fractale des poumons optimise-t-elle les échanges gazeux ?"
La Dimension Fractale
Dans le cadre du TPE, nous nous intéressons à la fractale présentes dans les poumons. Est-ce une fractale à la dimension se rapprochant plus de 2 ou de 3 ? Est-ce donc plutôt un plan ou une courbe ? Pour répondre à ces questions, nous devons comprendre comment calculer la dimension d’un objet fractal grâce à des règles bien précises.
Rapport de similitude
Avant de s’intéresser à la dimension, il faut d’abord comprendre la notion de rapport de similitude. Appelons k ce rapport.
La particularité des fractales que nous étudions est leur auto-similarité. En effet, quelle que soit l’échelle, nous retrouvons la même structure. Il existe donc un rapport de similitude k qu’il est possible de calculer. Prenons l’exemple du flocon de Koch avec un angle a = 20° :
Pour un angle a = 20°, le rapport de similitude k vaut , soit 0,426.
Le calcul de la dimension fractale
En géométrie usuelle, la dimension est un nombre entier qui caractérise un espace: la dimension 1 est la droite, dimension 2 le plan, etc… En géométrie fractale, les dimensions peuvent prendre des valeurs décimales. Par exemple, le flocon de Van Koch a une dimension supérieur à 1, mais inférieure à 2 (ce n’est pas un plan à proprement parler).
L’un des interêts principaux de la dimension fractale et que c’est un indicateur numérique d’irrégularités: plus la dimension fractale est grande, plus l’objet analysé sera irrégulier. Dans le cas de fractales auto-similaires à rapport de similitude constant, il existe une formule qui permet de calculer cette dimension.
Prenons l’exemple de la courbe de Van Koch pour comprendre cette notion. On part d’un segment de longueur de référence 1. Ci-dessous, les figures A) et B) représentent les niveaux d'itération 0 et 1 de la courbe de Von Koch, et ont donc un rapport de similitude constant. La figure C), quant à elle, est une variante de cette courbe, mais a un rapport non-constant, ce qui lui confère un caractère beaucoup plus irrégulier et aléatoire.
Soit k le coefficient d’agrandissement (l'inverse du rapport de similitude) et P le nombre de segment identique formés après une itération. La longueur L d’un segment est donc 1/k. Soit D la dimension. On a donc la relation suivante:
On peut aussi l’écrire de cette manière:
Dans le cas de la courbe de Von Koch, P= 4 et k=3
Donc la dimension vaut
