La dimension fractale, comme nous l’avons définie avant, permet d’introduire des dimensions caractérisées par un nombre qui n’est pas forcément un entier. Elle a pour fonction d’être un indicateur numérique d’irrégularités: plus la dimension est grande, plus la figure fractale est irrégulière donc dans le cas des poumons, plus sa surface d’échange sera grande pour un volume minimal.

 

Il sera donc intéressant de calculer cette dimension fractale.

Nous avons déjà démontré que la dimension fractale se calcule à l’aide de la formule suivante :

 

 

 

 

où k est le facteur d'agrandissement et P le nombre de figures identiques formées après une itération.

 

Rappelons nous aussi de la structure d’arbre trachéobronchique des poumons : à chaque génération ou itération, deux branches filles sont crées à partir d’une branche mère. D’après la loi de Hess-Murray, le rapport entre le diamètre d d’une branche mère et les diamètres d’ et

d’’ des branches filles est :

 

 

 

Or, dans le cas, des poumons, d’=d’’

 

donc,

 

donc                      (1)

 

Or, par définition, le facteur d'agrandissselent k est défini par                donc    

 

donc                        or (1) donc                    donc                  donc    

 

Chaque branche mère se divise en deux branches filles, donc P dans l’équation de la dimension fractale vaut 2

 

donc     

 

 

 

Nous faisons donc face à cas très rare : la dimension fractale du poumon est un nombre entier ! Cette dimension théorique étant donc maximale, cette valeur correspond à un remplissage parfait du volume.

 

Si le nombre de générations tendait vers l’infini (or elles s’arrêtent à 23), on aurait l’arbre pulmonaire qui atteindrait chaque point de l’espace, et l’on pourrait donc dire de l’arbre qu’il s’agit d’un arbre fractal tridimensionnel (en s’appuyant sur le principe du volume fini pour une aire finie, démontré dans le cas du flocon de Koch)