Structure Fractale Pulmonaire
"Comment la structure fractale des poumons optimise-t-elle les échanges gazeux ?"
Principe d'une aire finie pour un périmètre infini
Une fractale a la particularité d'avoir un nombre d'itérations qui tend vers l'infini. Par conséquent, elle possède un caractère, tel que son périmètre, son aire ou son volume, qui tend lui aussi vers l'infini. Prenons l'exemple du flocon de Koch pour démontrer cela.
Démonstration dans le cas du Flocon de Koch
Intuitivement, nous pourrions conjecturer que, d'après le schéma si dessous, quelque soit le nombre d'itérations, l'aire du flocon ne semble pas excéder celle du cercle dans lequel il est inscrit. Par ailleurs, son périmètre, aurait une longueur infinie pour une infinité d'itération.
Soit n le rang
Soit xn le nombre de côtés
Soit Pn le périmètre du flocon
Soit ln la longueur de chaque côté
Soit An l’aire du flocon
Rappelons comment calculer l'aire A d'un triangle équilatéral de côté a.
Ainsi dans le cas du flocon de Koch, a = 1 nous obtenons les relations suivantes:
À une génération n+1, l'aire est égale à la somme de l'aire de la génération précédente n et de 3 fois l'aire d'un des nouveaux petits triangles formés à la génération n+1. On obtient donc la relation suivante en appliquant la formule générale de l'aire des triangles:
Ensuite, d'après la formule qui permet de calculer la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique on obtient que l'aire du flocon vaut:
